Me temo que para poder seguir hablando del spin ha llegado el momento de utilizar algunos conceptos matem\u00e1ticos. En concreto son el de n\u00famero complejo y el de vector, que disteis en 1\u00ba de Bachillerato y el de matriz de una aplicaci\u00f3n lineal que hab\u00e9is dado este a\u00f1o.<\/p>\n
Pues all\u00e1 vamos. La primera idea que os quiero presentar es la de matriz de giro<\/em>. \u00bfY qu\u00e9 es eso? pues es una matriz que al multiplicarla por un vector lo gira un \u00e1ngulo predeterminado. Obviamente si ese \u00e1ngulo es cero, el vector queda inalterado y la matriz que representa un giro de cero grados es la matriz identidad. Lo mismo suceder\u00eda si el giro fuese de 360\u00ba, el vector queda inalterado.<\/p>\n Pero veamos otros ejemplos. Si el vector i<\/strong> = (1,0) lo giramos 90\u00ba en el sentido contrario al avance de las manecillas de un reloj, sale el vector j<\/strong> = (0,1) (dibujarlo y aseguraros de ello). Pues bien se trata ahora de buscar la matriz que multiplicada por el vector (1,0) sale el vector (0,1). O sea se trata de encontrar la matriz 2 x 2 que cumpla<\/p>\n Se puede hacer sin mas por tanteo y es f\u00e1cil comprobar que por ejemplo las matrices<\/p>\n <\/p>\n cumplen la ecuaci\u00f3n de mas arriba.<\/p>\n Desde luego que hay much\u00edsimas mas, pero esas dos me interesan para ilustrar el siguiente punto: la primera matriz, la A, admite un giro inverso para que el vector (0,1) gire hasta coincidir con el (1,0). La segunda matriz, la B, no. Comprob\u00e9moslo, primero con la matriz A. Su giro inverso es el siguiente y mueve el vector j<\/strong> como os he dicho<\/p>\n y si multiplico el giro horario por el giro antihorario sale la identidad como debe ser:<\/p>\n <\/p>\n La matriz B de mas arriba pod\u00e9is ver f\u00e1cilmente que no admite inversa, pues su determinante vale 0. No puede representar un giro, ser\u00e1 otra cosa, pero un giro desde luego que no. As\u00ed que de todas las matrices 2 x 2 solo algunas representan giros, pero \u00bfcu\u00e1les?<\/p>\n Pues con el ejemplo que os he desarrollado y una cosita mas es f\u00e1cil caracterizarlas. Para empezar, las matrices de giro (1) su determinante vale 1, (2) siempre admiten matriz inversa (su giro opuesto que las lleva a la identidad) y (3) esa matriz inversa coincide con la traspuesta (cambiar filas por columnas).<\/p>\n Ya est\u00e1. Ese conjunto de matrices que representan giros en el plano se denomina SO(2) y una matriz gen\u00e9rica de ese grupo es<\/p>\n Comprobar que si sustitu\u00eds el \u00e1ngulo alfa por 90 \u00f3 -90 obten\u00e9is las matrices de giro que yo he usado mas arriba. Adem\u00e1s con la matriz gen\u00e9rica es muy f\u00e1cil demostrar las caracterizaciones (1),(2) y (3) de todas las matrices pertenecientes al grupo SO(2). Os destaco tambi\u00e9n que la matriz gen\u00e9rica depende de un solo par\u00e1metro: el \u00e1ngulo de giro alfa.<\/p>\n Ahora os digo la segunda idea que os quiero transmitir en este post: las matrices de giro que pertenecen a SO(2) respetan las simetr\u00edas resultantes de los giros realizados alrededor de un c\u00edrculo y adem\u00e1s no cambian la longitud de los vectores girados. Un simple ejemplo os convencer\u00e1 de esto \u00faltimo. Si elegimos el vector (2,1) de m\u00f3dulo \u221a5 y lo giramos 90 grados:<\/p>\n <\/p>\n vemos que el vector resultante, (-1,2) sigue teniendo m\u00f3dulo \u221a5.<\/p>\n Tan solo me falta la extensi\u00f3n al espacio tridimensional. Las matrices de giro tridimensionales pertenecen al grupo SO(3) pero a diferencia del SO(2) que solo depende de un par\u00e1metro, el grupo tridimensional depende de tres.\u00a0 En efecto para hacer girar un bal\u00f3n de f\u00fatbol o nuestro propio planeta Tierra, hay que especificar un eje (dos par\u00e1metros) y el \u00e1ngulo de giro (el tercero).<\/p>\n La matriz gen\u00e9rica de SO(3) tiene un aspecto formidable que ah\u00ed os dejo mas que nada para que ve\u00e1is que existe:<\/p>\n (nx<\/sub>,ny<\/sub>,nz<\/sub>) son las componentes del vector unitario que define el eje de rotaci\u00f3n (de los tres n\u00fameros solo dos son independientes, pues el tercero se despeja de la condici\u00f3n de que su m\u00f3dulo valga 1)\u00a0 y \u03b8 es el \u00e1ngulo de rotaci\u00f3n.<\/p>\n Pero la cosa no acaba aqu\u00ed. \u00bfY que pasa si el propio espacio gira en el hiperespacio? Asunto resuelto, las matrices que hacen tal cosa pertenecer\u00e1n a SO(4) y os anticipo que depender\u00e1n de 6 par\u00e1metros. \u00bfQuer\u00e9is m\u00e1s? pues si el hiperespacio gira en el hiperhiperespacio las matrices estar\u00e1n en SO(5) y ahora el n\u00famero de par\u00e1metros ser\u00e1n 10. La regla es que SO(n) depende de n(n-1)\/2 par\u00e1metros ajustables. Por cierto os dejo un reto: los seis par\u00e1metros de SO(4) \u00bfa que elementos geom\u00e9tricos se refieren?<\/p>\n Como habeis visto, las matrices gen\u00e9ricas de SO(3), SO(4) etc son peque\u00f1os monstruos matem\u00e1ticos llenos de senos, cosenos, vectores unitarios y dem\u00e1s demonios matem\u00e1ticos. Afortunadamente, ya en el siglo XIX, Sophus Lie descubri\u00f3 una manera muy elegante de trabajar con un grupo de rotaci\u00f3n a partir de otra estructura mucho mas simple: las denominadas \u00e1lgebras de Lie cuyas bases son tambi\u00e9n matrices pero mucho mas manejables y sencillas que la matriz Rn<\/sub>(\u03b8) de mas arriba.<\/p>\n \u00bfY que tiene que ver esto con el spin?\u00a0 Pues lo siguiente: las matrices de SO(3) respetan todas las simetr\u00edas cuando se gira una esfera en el espacio, coincide entonces con la simetr\u00eda que Noether hab\u00eda advertido para el momento angular: al girar el propio espacio permanece id\u00e9ntico a si mismo. Ese ser\u00e1 nuestro punto de arranque para entender el spin pero lo dejo para despu\u00e9s de la graduaci\u00f3n.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Me temo que para poder seguir hablando del spin ha llegado el momento de utilizar algunos conceptos matem\u00e1ticos. En concreto son el de n\u00famero complejo y el de vector, que disteis en 1\u00ba de Bachillerato y el de matriz de una aplicaci\u00f3n lineal que hab\u00e9is dado este a\u00f1o. Pues all\u00e1 vamos. La primera idea que… Seguir leyendo El spin, SU(2) y otras cosas raras (y 2).<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":756,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[4],"tags":[],"class_list":["post-120","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-fisica-moderna","entry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/edublog.educastur.es\/fisicaenelibq\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/120","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/edublog.educastur.es\/fisicaenelibq\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/edublog.educastur.es\/fisicaenelibq\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/edublog.educastur.es\/fisicaenelibq\/wp-json\/wp\/v2\/users\/756"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/edublog.educastur.es\/fisicaenelibq\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=120"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/edublog.educastur.es\/fisicaenelibq\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/120\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":121,"href":"https:\/\/edublog.educastur.es\/fisicaenelibq\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/120\/revisions\/121"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/edublog.educastur.es\/fisicaenelibq\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=120"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/edublog.educastur.es\/fisicaenelibq\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=120"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/edublog.educastur.es\/fisicaenelibq\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=120"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}