Tengo que acabar estos post dedicados al spin antes de que termine el curso, asi que all\u00e1 voy.<\/p>\n
En breves pinceladas os resumo el camino l\u00f3gico que, a mi juicio, desemboc\u00f3 en una mejor comprensi\u00f3n del spin en la f\u00edsica cu\u00e1ntica.<\/p>\n
(i) el teorema de Noether establece una profunda relaci\u00f3n entre simetr\u00eda matem\u00e1tica y propiedad f\u00edsica conservada (propiedad que no cambia cuando todo lo dem\u00e1s cambia).<\/p>\n
(ii) el momento angular es la magnitud que se conserva debido a las propiedades de simetr\u00eda del espacio euclideo, en concreto la isotrop\u00eda (al girar un cierto \u00e1ngulo las propiedades del espacio no cambian)<\/p>\n
(iii) las matrices del grupo SO(3) reproducen las propiedades de simetria correspondientes a la isotrop\u00eda del espacio.<\/p>\n
(iv) nos queda encontrar otro grupo matricial cuyas propiedades de simetr\u00eda reproduzcan todos los experimentos en los que aparezca el spin de las part\u00edculas<\/strong>.<\/p>\n Ya os adelanto que tal grupo es el SU(2) y paso de inmediato a explicaros como se construye. La idea b\u00e1sica es generalizar el grupo SO(2)\u00a0 ( que os recuerdo que depende de un n\u00famero real, el \u00e1ngulo de giro) para que incluya n\u00fameros complejos, si esos n\u00famero tales como 4 + 3i \u00f3 -2 – 2i, donde \u201ci\u201d es la raiz cuadrada de -1.<\/p>\n Una cosa hay que tener presente: exigimos a las matrices de SU(2) que respeten las propiedades de su grupo hermano, el SO(2) que ya os he mencionado en el post anterior a \u00e9ste y que seguidamente trascribo:<\/p>\n 1) su determinante vale 1,<\/p>\n (2) siempre admiten matriz inversa (el giro opuesto que las lleva a la identidad)<\/p>\n y (3) esa matriz inversa coincide con la traspuesta (cambiar filas por columnas).<\/p>\n Pues con estos condicionantes las matrices del grupo SU(2)\u00a0 pasan a depender de tres par\u00e1metros y la propiedad (3) hay que modificarla ligerante por:<\/p>\n y(3\u2032) la matriz inversa coincide con la traspuesta-conjugada (cambiar filas por columnas y \u201ci\u201d, la raiz de -1, por \u201c-i\u201d)<\/p>\n Las matrices de ese grupo tienen el siguiente aspecto:<\/p>\n Fijaos que la propia estructra interna de las matrices garantiza que la inversa coincida con la traspuesta-conjugada.(la notaci\u00f3n habitual del conjugado del n\u00famero\u00a0\u03b1 es ponerle una raya encima, asi el conjugado de 3-2i es 3+2i)<\/p>\n Tengo que explicar mas a fondo por que el grupo SU(2) depende de tres par\u00e1metros pues tendr\u00e1 una importancia capital m\u00e1s adelante. Si os fija\u00eds los n\u00fameros complejos\u00a0\u03b1 y\u00a0\u03b2 pueden escribirse as\u00ed: a + bi, c + di con lo que en principio a,b,c,d son arbitrarios. Pero la condicion de que el determinante valga uno nos proporciona una ecuaci\u00f3n que permite despejar uno de ellos en funci\u00f3n de los otros tres. As\u00ed por ejemplo eligiendo a = 0, b= 0, c = 0 obligatoriamente d tiene que valer 1 y la matriz que responde a esa elecci\u00f3n es:<\/p>\n Sin duda representa una \u201crotaci\u00f3n\u201d pues (tal y como hicimos en SO(2)) al multiplicarla por su traspuesta-conjugada se deshace el \u201cgiro\u201d y obtenemos:<\/p>\n Ya tenemos construido \u201cel mundo donde habita el spin\u201d, un espacio matricial complejo cuyas rotaciones son las matrices de SU(2). Ahora os presento a sus \u201chabitantes\u201d. Son las denominadas matrices de Pauli y con ellas se pueden reproducir los resultados de todos los experimentos en los que intervenga el spin. Se suelen escribir as\u00ed:<\/p>\n Las matrices del spin son esas mismas pero multiplicadas por la constante h\/2\u03c0.<\/p>\n El experimento b\u00e1sico que pone de manifiesto las propiedades del spin es el experimento de Stern-Gerlach. Consiste un un aparato en cuyo interior hay un campo magn\u00e9tico variable que se puede orientar en el espacio seg\u00fan el eje que deseemos. Al entrar un chorro de \u00e1tomos en el aparato, este se divide siempre en dos y solo dos haces<\/em>. Es posible relacionar la separaci\u00f3n entre esos haces con la intensidad B del campo magn\u00e9tico en su interior.<\/p>\n No hace falta en este momento entrar en mas detalles de c\u00f3mo se realiza el experimento. Interesa tan solo relacionar el resultado del experimento con la teor\u00eda. Brevemente os dir\u00e9 que de las tres matrices de Pauli solo la tercera es una matriz diagonal. Hay un teorema de la f\u00edsica cu\u00e1ntica que dice que cuando tenemos una matriz diagonal que represente una cierta magnitud, los valores de la diagonal son los posibles valores que experimentalmente se pueden obtener al medir dicha magnitud. As\u00ed que los posibles resultados del experimento de Stern-Guerlach son \u00f3 h\/2\u03c0 \u00f3 -h\/2\u03c0, seg\u00fan sea el haz que se tome. (claro est\u00e1 el factor h\/2\u03c0 premultiplica a las matrices de Pauli para dar las matrices del spin). Es otra manera de decir lo que ya sab\u00e9is: el n\u00famero de spin vale \u00f3 1\/2 \u00f3 -1\/2 en \u00a1unidades de h\/\u03c0!<\/p>\n Y ahora empiezan los aut\u00e9nticos y desconcertantes problemas. Las matrices de SO(2) indudablemente representan giros en el plano, pero \u00bfy las matrices de SU(2)?\u00a0 \u00bfsiguen siendo giros? y si es asi \u00bfgiros de qu\u00e9?<\/p>\n Lo primero que se les ocurri\u00f3 a los f\u00edsicos es que no es posible establecer una correspondencia entre un grupo que depende de un par\u00e1matero, el SO(2), con otro que depende de tres, el SU(2), asi que buscaron y encontraron una relaci\u00f3n con el SO(3) que efectivamente depende de tres par\u00e1metros. As\u00ed que dado que SO(3) representa los giros de una esfera en el espacio ordinario, SU(2) representa los \u201cgiros\u201d de una esfera imaginaria en un espacio imaginario. Desconcertante. Y mucho m\u00e1s desconcertante a\u00fan es saber que los \u201cgiros\u201d en SU(2) son mas \u201cperfectos\u201d que en SO(3) pues en el primero la operaci\u00f3n \u201cgiro\u201d es cont\u00ednua mientras que en el segundo la operaci\u00f3n giro presenta una discontinuidad.<\/p>\n Conectemos todo esto con la realidad. El aparato de Stern-Guerlach sin duda habita en el espacio ordinario y si lo rotamos, las matrices de SO(3) dan cuenta de dicha rotaci\u00f3n. El resultado de sus medidas, el spin, habita en un espacio complejo y cuando se rota el aparato Stern-Guerlach en el espacio ordinario, el spin \u201crota\u201d en su espacio pero lo hace con las matrices de SU(2). La maravillosa conexi\u00f3n SU(2) \u2192 SO(3) da cuenta y raz\u00f3n de todos los posibles resultados del experimento Stern-Guerlach.<\/p>\n Creo que es el momento de recordar las palabras de Alfonso X el Sabio cuando se puso a estudiar la astronom\u00eda de Ptolomeo \u201cSi Dios me hubiese preguntado le habria sugerido un mundo mucho mas sencillo\u201d<\/em><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Tengo que acabar estos post dedicados al spin antes de que termine el curso, asi que all\u00e1 voy. En breves pinceladas os resumo el camino l\u00f3gico que, a mi juicio, desemboc\u00f3 en una mejor comprensi\u00f3n del spin en la f\u00edsica cu\u00e1ntica. (i) el teorema de Noether establece una profunda relaci\u00f3n entre simetr\u00eda matem\u00e1tica y propiedad… Seguir leyendo El spin, SU(2) y otras cosas raras (y 3).<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":756,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[4],"tags":[],"class_list":["post-122","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-fisica-moderna","entry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/edublog.educastur.es\/fisicaenelibq\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/122","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/edublog.educastur.es\/fisicaenelibq\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/edublog.educastur.es\/fisicaenelibq\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/edublog.educastur.es\/fisicaenelibq\/wp-json\/wp\/v2\/users\/756"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/edublog.educastur.es\/fisicaenelibq\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=122"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/edublog.educastur.es\/fisicaenelibq\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/122\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":123,"href":"https:\/\/edublog.educastur.es\/fisicaenelibq\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/122\/revisions\/123"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/edublog.educastur.es\/fisicaenelibq\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=122"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/edublog.educastur.es\/fisicaenelibq\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=122"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/edublog.educastur.es\/fisicaenelibq\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=122"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}