Aunque por motivos did\u00e1cticos la fuerza magn\u00e9tica se estudia separada de la el\u00e9ctrica, en realidad siempre van juntas y se denomina la fuerza de Lorentz a su suma:<\/p>\n
F<\/strong>electromagn\u00e9tica<\/sub> = q E<\/strong> + q (v<\/strong> x B<\/strong>)<\/p>\n Pod\u00e9is reconocer en esa expresi\u00f3n que la fuerza magn\u00e9tica vale:<\/p>\n F<\/strong>magn\u00e9tica =\u00a0<\/sub> q (v<\/strong> x B<\/strong>)<\/p>\n La cuesti\u00f3n matem\u00e1tica pertinente ahora es el c\u00e1lculo del producto vectorial que exige el desarrollo del determinante:<\/p>\n <\/p>\n En principio sab\u00e9is hacerlo por la regla de Sarrus o por el desarrollo de los elementos de la primera fila, pero en este post pretendo ahondar un poco m\u00e1s sobre el significado f\u00edsico del producto vectorial y relacionarlo con dos teor\u00edas punteras de la F\u00edsica Moderna: la Mec\u00e1nica Cu\u00e1ntica y la Teor\u00eda de la Relatividad General.<\/p>\n Quiero destacar ante todo que ese \u201cdeterminante\u201d de m\u00e1s arriba\u00a0 ni siquiera es un aut\u00e9ntico determinante, pues lo que hay dentro de \u00e9l no es una matriz tan siquiera (fijaos que su primera fila aparecen los vectores unitarios enteritos y las siguientes filas son otra cosa, son n\u00fameros, las componentes de la velocidad y el campo). En realidad la g\u00e9nesis hist\u00f3rica del producto vectorial no tiene nada que ver con los determinantes y la definici\u00f3n anterior no pasa de ser una regla nemot\u00e9cnica para su c\u00e1lculo.<\/p>\n La manera moderna correcta de desarrollar el producto vectorial es a trav\u00e9s de la siguiente multiplicaci\u00f3n matricial:<\/p>\n \u00a1Ya no hace falta incluir artificialmente los vectores unitarios! Si realiz\u00e1is la multiplicaci\u00f3n os queda una matriz columna cuyos elementos son las componentes del producto vectorial.<\/p>\n Observad que la matriz que se usa tiene una simetr\u00eda especial: es antisim\u00e9trica<\/em>, o sea que su traspuesta coincide con la original cambiada de signo lo que de paso exige que la diagonal principal sean todos ceros. El caso es que esas matrices antisim\u00e9tricas pertenecen al \u00e1lgebra de Lie del grupo SO(3) formado por las rotaciones\u00a0 en el espacio ordinario.\u00a0 As\u00ed que en definitiva el producto vectorial se comporta igual que una estructura, las \u00e1lgebras de Lie,\u00a0 important\u00edsimas en las modernas teor\u00edas cu\u00e1nticas.<\/p>\n Por otra parte, el producto vectorial lleva asociada una base de vectores unitarios dextr\u00f3giros y esto NO SE PUEDE cambiar. Lo de dextr\u00f3giro significa que, una vez dibujados tres ejes cualesquiera en el espacio puedes elegir libremente el nombre de uno de ellos, por ejemplo el eje X y autom\u00e1ticamente la regla de la mano izquierda que vimos en clase fija el nombre de los otros dos, el Y y el Z. (ya s\u00e9 que dextrogiro es girar a derechas, pero la regla es la de la mano izquierda, as\u00ed que cuidado con los nombres).<\/p>\n La necesidad absoluta de utilizar una base dextr\u00f3gira conduce a una dificultad f\u00edsica muy seria. Es superevidente que la fuerza de Lorentz NO puede depender de la arbitraria elecci\u00f3n de la base, por lo que si se usase una base unitaria lev\u00f3gira los resultados tendr\u00edan que ser los mismos.<\/p>\n La cuesti\u00f3n es muy delicada y su an\u00e1lisis involucra conocer la simetr\u00eda que cambia una base dextr\u00f3gira en otra lev\u00f3gira. Si hac\u00e9is los dibujos oportunos ver\u00e9is que se trata de una operaci\u00f3n de simetr\u00eda de inversi\u00f3n<\/em> de los ejes de coordenadas. No es el momento de entrar en m\u00e1s detalles, simplemente os avanzo que el vector B<\/strong> no es un vector ordinario, los cuales cambian de signo ante la inversi\u00f3n de los ejes, el vector B<\/strong> no cambia de signo al invertir los ejes tal y como exige su presencia en la fuerza de Lorentz, por lo que los f\u00edsicos lo llaman un pseudovector<\/em>.<\/p>\n Otro pseudovector que aparece en F\u00edsica y que ya conoc\u00e9is es el momento angular L<\/strong> = r<\/strong> x m v<\/strong>. Tambi\u00e9n la presencia del inocente producto vectorial hace que L<\/strong> no cambie de signo al invertir el sistema de referencia. La comprobaci\u00f3n es inmediata sin m\u00e1s que destacar que tanto r<\/strong> como v<\/strong> (vectores ordinarios) si cambian de signo ante la inversi\u00f3n y entonces (-)r<\/strong> x (-)v<\/strong> = (+)L\u00a0<\/strong> y evidentemente la masa al ser siempre positiva no altera para nada el razonamiento.<\/p>\n No os ten\u00e9is que preocupar mucho en este momento en distinguir los vectores de los pseudovectores. Pero en cursos mas avanzados se comprueba que las relaciones entre pseudovectores requieren la presencia de otros objetos ciertamente complicados, los tensores. <\/em>As\u00ed que en principio tenemos dos tipos de leyes:<\/p>\n vector = escalar por vector<\/p>\n pseudovector = tensor por pseudovector<\/p>\n La segunda ley de Newton es un ejemplo del primer tipo de relaci\u00f3n, pero en la din\u00e1mica de rotaci\u00f3n aparecen leyes del segundo tipo. Un estudio sistem\u00e1tico de este tipo de relaciones entre tensores es la base de la Teor\u00eda General de la Relatividad de Einstein (no confundirla con la Teor\u00eda Especial de la Relatividad).<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Aunque por motivos did\u00e1cticos la fuerza magn\u00e9tica se estudia separada de la el\u00e9ctrica, en realidad siempre van juntas y se denomina la fuerza de Lorentz a su suma: Felectromagn\u00e9tica = q E + q (v x B) Pod\u00e9is reconocer en esa expresi\u00f3n que la fuerza magn\u00e9tica vale: Fmagn\u00e9tica =\u00a0 q (v x B) La cuesti\u00f3n… Seguir leyendo La fuerza de Lorentz y el producto vectorial<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":756,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[9],"tags":[],"class_list":["post-186","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-electromagnetismo","entry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/edublog.educastur.es\/fisicaenelibq\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/186","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/edublog.educastur.es\/fisicaenelibq\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/edublog.educastur.es\/fisicaenelibq\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/edublog.educastur.es\/fisicaenelibq\/wp-json\/wp\/v2\/users\/756"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/edublog.educastur.es\/fisicaenelibq\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=186"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/edublog.educastur.es\/fisicaenelibq\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/186\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":187,"href":"https:\/\/edublog.educastur.es\/fisicaenelibq\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/186\/revisions\/187"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/edublog.educastur.es\/fisicaenelibq\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=186"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/edublog.educastur.es\/fisicaenelibq\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=186"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/edublog.educastur.es\/fisicaenelibq\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=186"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}