{"id":188,"date":"2021-01-19T19:06:26","date_gmt":"2021-01-19T19:06:26","guid":{"rendered":"https:\/\/edublog.educastur.es\/fisicaenelibq\/?p=188"},"modified":"2021-03-19T19:39:29","modified_gmt":"2021-03-19T19:39:29","slug":"las-cuatro-ecuaciones-de-maxwell-version-heaviside","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/edublog.educastur.es\/fisicaenelibq\/2021\/01\/19\/las-cuatro-ecuaciones-de-maxwell-version-heaviside\/","title":{"rendered":"Las cuatro ecuaciones de Maxwell (versi\u00f3n Heaviside)"},"content":{"rendered":"

S\u00f3lo los especialistas pueden leer directamente el libro de Maxwell \u201cTretease on Electricity and Magnetism<\/em>\u201d publicado en 1873 en el que se matematiza la idea de campo f\u00edsico original de Faraday. Y ello por dos razones principales. La primera: que no est\u00e1 escrito en notaci\u00f3n vectorial. La segunda: que la fundamentaci\u00f3n de las ecuaciones basada en un modelo mec\u00e1nico del \u00e9ter, a la luz de los conocimientos actuales, parece un cuento de hadas.<\/p>\n

Por eso hoy en d\u00eda la presentaci\u00f3n de las ecuaciones de Maxwell sigue la pauta que Heaviside desarroll\u00f3 unos pocos a\u00f1os despu\u00e9s y que soslayan las dificultades que he se\u00f1alado en el p\u00e1rrafo anterior.<\/p>\n

En efecto, Heaviside (y Gibbs) inventaron la notaci\u00f3n vectorial con un af\u00e1n muy claro: simplificar las m\u00e1s de veinte ecuaciones que Maxwell introdujo en el \u201cTretease<\/em>\u201d . Daros cuenta que una ecuaci\u00f3n vectorial \u201carrastra\u201d tres ecuaciones escalares tras de si, una para cada eje del espacio. Dicho de otra manera: tres ecuaciones escalares pueden \u201ccomprimirse\u201d en una sola ecuaci\u00f3n vectorial. Por cierto, algunos de sus contempor\u00e1neos tacharon a Heaviside de \u201cexc\u00e9ntrico\u201d por su empe\u00f1o en introducir el \u00e1lgebra vectorial en la F\u00edsica. En fin, ya veis que vale m\u00e1s el juicio de la Historia que el juicio de las personas.<\/p>\n

Para simplificar a\u00fan mas las ecuaciones de Maxwell, Heaviside reescribi\u00f3 la ley de Coulomb de manera que la constante que aparece en ella sea ahora k = 1\/4\u03c0\u03b5. De esta manera el factor 4\u03c0 no aparece en las ecuaciones y si lo hace la constante diel\u00e9ctrica \u03b5. Heaviside prefiri\u00f3 complicar la ley de Coulomb (cuya validez es muy limitada) para dejar las ecuaciones de Maxwell mas sencillas y \u201climpias\u201d.<\/p>\n

Esta operaci\u00f3n de \u201climpieza\u201d tiene mucho que ver con la err\u00f3nea fundamentaci\u00f3n que Maxwell di\u00f3 en el Tretease<\/em> a sus ecuaciones.\u00a0 Heaviside pensaba que las ecuaciones tan \u201climpias y bellas\u201d no necesitaban ninguna demostraci\u00f3n, que merec\u00edan un status igual a los principios de Newton del movimiento, que el bonito cuento de hadas que Maxwell contaba en su obra para \u201cdeducir\u201d sus ecuaciones era totalmente superfluo.<\/p>\n

Desde luego, no todos los f\u00edsicos pensaban igual que Heaviside y el primero de ellos era nada menos que Einstein. Pero el ataque a la fundamentaci\u00f3n de las ecuaciones de Maxwell que hizo Einstein merecen otro post, pues ese an\u00e1lisis cr\u00edtico es nada menos que el germen de la Teor\u00eda de la Relatividad.<\/p>\n

Heaviside reescribi\u00f3 las ecuaciones de manera que a la izquierda apareciera lo desconocido, lo que se quiere calcular: (i) la intensidad del campo el\u00e9ctrico E<\/strong> y (ii) su hermana, la densidad de flujo el\u00e9ctrico D<\/strong> (iii) la intensidad del campo magn\u00e9tico H<\/strong>\u00a0 y (iv) su hermana la densidad de flujo magn\u00e9tico B<\/strong>. A la derecha de las ecuaciones aparece lo conocido, las fuentes de esos campos: (i\u2019) la carga el\u00e9ctrica en reposo Q, (ii\u2019) la carga el\u00e9ctrica en movimiento (o sea la intensidad I) y las variaciones (iii\u2019) del flujo el\u00e9ctrico y (iv\u2019) del flujo magn\u00e9tico.\u00a0 La relaci\u00f3n entre las fuentes\u00a0 (la causa) y los campos (el efecto) est\u00e1 \u201climpio\u201d, Heaviside se las arregl\u00f3 para que no apareciese ninguna constante. Por cierto, si hac\u00e9is las cuentas ver\u00e9is que salen cuatro ecuaciones con cuatro datos y con cuatro inc\u00f3gnitas, como debe ser.<\/p>\n

En las dos primeras ecuaciones aparecen los flujos (campo x superficie) de D<\/strong> y B<\/strong> y en las otras dos \u00faltimas las circulaciones (campo x longitud ) de E<\/strong> y H<\/strong>.\u00a0 Esta bonita simetr\u00eda se rompe con la colocaci\u00f3n de las fuentes. Ve\u00e1moslo:<\/p>\n

Ecuaci\u00f3n 1): (Gauss) el flujo de D<\/strong> a trav\u00e9s de una superficie cerrada es igual a la carga neta encerrada por esa superficie. Por lo tanto: fijada la fuente, el flujo no depende de la forma de la superficie que la rodea.<\/p>\n

Ecuaci\u00f3n 2): (Gauss) el flujo de B<\/strong> a trav\u00e9s de una superficie cerrada siempre vale cero, por lo que el flujo no depende de la forma de la superficie.<\/p>\n

Ecuaci\u00f3n 3): (Faraday) la circulaci\u00f3n de E<\/strong> a lo largo de una curva cerrada es igual a menos la variaci\u00f3n en el tiempo del flujo magn\u00e9tico que la atraviesa. Por lo tanto: fijada la variaci\u00f3n temporal del flujo, la circulaci\u00f3n no depende de la forma de la curva.<\/p>\n

Ecuaci\u00f3n 4): (Ampere-Maxwell) la circulaci\u00f3n de H<\/strong> a lo largo de una curva cerrada es igual a la carga en movimiento que la atraviesa m\u00e1s la variaci\u00f3n en el tiempo del flujo el\u00e9ctrico. Por lo tanto: fijada la variaci\u00f3n temporal del flujo y la intensidad que la atraviesa, la circulaci\u00f3n no depende de la forma de la curva. Como ya os coment\u00e9 en clase, esa variaci\u00f3n temporal del flujo fue la \u00fanica contribuci\u00f3n personal de Maxwell a \u201csus ecuaciones\u201d.<\/p>\n

Salta a la vista que las ecuaciones ser\u00edan m\u00e1s sim\u00e9tricas si existiesen monopolos magn\u00e9ticos, as\u00ed la segunda ecuaci\u00f3n ser\u00eda muy parecida a la primera. Tambi\u00e9n ser\u00eda muy deseable que en la cuarta no apareciese la contribuci\u00f3n de la intensidad, asi seria muy parecida a la tercera.\u00a0 A\u00fan as\u00ed la elegancia y simetr\u00eda de las ecuaciones justifica que Heaviside estuviese enamorado de ellas. (asi lo manifest\u00f3 es m\u00e1s de una ocasi\u00f3n)<\/p>\n

Una \u00faltima cuesti\u00f3n. Como ya os habr\u00e9is dado cuenta 4 ecuaciones vectoriales = 12 ecuaciones escalares. Os dije antes que hab\u00eda m\u00e1s de veinte en el Tretease<\/em> \u00bfd\u00f3nde est\u00e1n las que faltan?. Pues otra genialidad de Heaviside. Las que faltan dependen del medio (vac\u00edo, aire, agua, etc) por lo que, aunque necesarias<\/u> para resolver un problema concreto, no tienen el status de Principios sino de relaciones materiales. Para que se entienda mejor, una de las ecuaciones que falta es la versi\u00f3n microsc\u00f3pica de la ley de Ohm V=RI. Fijaos que en esa ecuaci\u00f3n aparece R, la resistencia el\u00e9ctrica, que depende del medio, y a\u00fan peor, no es v\u00e1lida cuando la temperatura var\u00eda mucho. Otra relaci\u00f3n material es la que conecta el campo el\u00e9ctrico y el desplazamiento D<\/strong> = \u03b5E<\/strong> donde la constante \u03b5 depende nuevamente del medio. Con buen criterio Heaviside consideraba ese tipo de ecuaciones \u201cinferiores\u201d, indignas de aparecer al lado de las otras cuatro.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

S\u00f3lo los especialistas pueden leer directamente el libro de Maxwell \u201cTretease on Electricity and Magnetism\u201d publicado en 1873 en el que se matematiza la idea de campo f\u00edsico original de Faraday. Y ello por dos razones principales. La primera: que no est\u00e1 escrito en notaci\u00f3n vectorial. La segunda: que la fundamentaci\u00f3n de las ecuaciones basada… Seguir leyendo Las cuatro ecuaciones de Maxwell (versi\u00f3n Heaviside)<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":756,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[9],"tags":[],"class_list":["post-188","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-electromagnetismo","entry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/edublog.educastur.es\/fisicaenelibq\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/188","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/edublog.educastur.es\/fisicaenelibq\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/edublog.educastur.es\/fisicaenelibq\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/edublog.educastur.es\/fisicaenelibq\/wp-json\/wp\/v2\/users\/756"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/edublog.educastur.es\/fisicaenelibq\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=188"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/edublog.educastur.es\/fisicaenelibq\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/188\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":189,"href":"https:\/\/edublog.educastur.es\/fisicaenelibq\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/188\/revisions\/189"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/edublog.educastur.es\/fisicaenelibq\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=188"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/edublog.educastur.es\/fisicaenelibq\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=188"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/edublog.educastur.es\/fisicaenelibq\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=188"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}