Las leyes f\u00edsicas pueden escribirse circunscritas a un punto del espacio (en ingl\u00e9s \u201clocal\u201d) o pueden escribirse de tal manera que se refieran a cantidades extensas, que involucren una longitud, superficie o volumen (en ingl\u00e9s \u201cglobal\u201d).<\/p>\n
Voy con ejemplos: una magnitud de punto (local) es por ejemplo la fuerza. En un punto del espacio puede estar una part\u00edcula y sobre ella actuar una fuerza, que luego en conexi\u00f3n con el 2\u00ba Principio de Newton permite calcular la aceleraci\u00f3n de esa particula justo en ese mismo punto donde se encuentra. Obviamente, el movimiento de los cuerpos se realiza a lo largo de la trayectoria que describen que, sin duda alguna, es una magnitud extensa. El paso del la magnitud puntual, la aceleraci\u00f3n, a la magnitud extensa, la trayectoria, debe realizarse mediante la operaci\u00f3n matem\u00e1tica de integraci\u00f3n. Como recordar\u00e9is de los problemas de 1\u00ba de Bachillerato, el proceso se puede invertir y dada la trayectoria matematizada por el vector de posici\u00f3n puede derivarse \u00e9ste dos veces para obtener la aceleraci\u00f3n y la fuerza.<\/p>\n
Quiero destacar un punto importante que se deduce del p\u00e1rrafo anterior:\u00a0 la segunda ley de Newton est\u00e1 escrita de manera puntual. Desde un punto de vista matem\u00e1tico es una ecuaci\u00f3n diferencial ordinaria de segundo orden.\u00a0 Aclarando mas las cosas: lo de\u201d ecuaci\u00f3n\u201d significa que puede ser resuelta para obtener una funci\u00f3n conocida, lo de \u201cdiferencial de segundo orden\u201d significa que hay que integrar dos veces para llegar a la trayectoria y lo de \u201cordinaria\u201d es que solo hay una variable que es el tiempo. Ejemplo t\u00edpico es el oscilador arm\u00f3nico cuyo soluci\u00f3n vimos este curso. Lo repasamos: (1) la ecuaci\u00f3n diferencial (2\u00ba ley)\u00a0 queda:\u00a0 -kx = md2<\/sup>x\/dt2<\/sup> (2) la soluci\u00f3n es a(t) = – A\u03c92<\/sup> sen(\u03c9t+\u03c60<\/sub>) y (3) la doble integraci\u00f3n queda x(t) =\u00a0 A cos(\u03c9t+\u03c60<\/sub>) donde \u03c92<\/sup> = k\/m<\/p>\n Una magnitud extensa (global) es por ejemplo el trabajo. No puede haber trabajo en un punto, el concepto en s\u00ed es absurdo. Cuando una fuerza se traslada a lo largo de una longitud, entonces es cuando se realiza trabajo. As\u00ed que la Termodin\u00e1mica trata con magnitudes extensas y por eso sus Principios\u00a0 son de una naturaleza f\u00edsica (\u00a1 y matem\u00e1tica !) muy distinta a la segunda ley de Newton. Dicho de otra manera: el primer principio de la Termodin\u00e1mica NO es una ecuaci\u00f3n diferencial ordinaria de segundo orden.<\/p>\n Inmediatamente se suscita la cuesti\u00f3n de que si es posible escribir la segunda ley de Newton de manera global, extensa, y el Primer principio de la Termodin\u00e1mica de manera local, puntual. Pues voy a mantener el misterio porque lo que me interesa ahora es destacar que las Ecuaciones de Maxwell SI que se pueden escribir de manera local, como ecuaciones diferenciales, o de manera global, como ecuaciones integrales.<\/p>\n En el post anterior a \u00e9ste, las escrib\u00ed de manera global porque considero que bajo esa forma son m\u00e1s f\u00e1ciles de asimilar la primera vez que te topas con ellas. Para ello hice uso de magnitudes globales: el flujo de D<\/strong> y B<\/strong> a trav\u00e9s de una superficie y la circulaci\u00f3n de E<\/strong> y H<\/strong> a lo largo de una longitud.\u00a0 Pero, insisto, es perfectamente posible escribirlas solamente con las magnitudes puntuales, los propios campos.<\/p>\n Desgraciadamente ya veis que las cosas se complican. Resulta que lo que parec\u00edan cuatro ecuaciones son en realidad ocho y pasar de unas a otras requiere cierta pericia matem\u00e1tica y la omnipresencia de dos operadores diferenciales: la divergencia que sustituye a los flujos y el rotacional que sustituye a las circulaciones. Adem\u00e1s resulta que cuando se escriben en forma local hay tres variables, las tres coordenadas espaciales, por lo que ya no son ecuaciones diferenciales ordinarias como la 2\u00ba ley, se trata ahora de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Fatalidad, los m\u00e9todos que aprendes para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias no valen para resolver las ecuaciones en derivadas parciales. \u00a1Mientras haya f\u00edsicos las matem\u00e1ticas no se agotar\u00e1n nunca!<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Las leyes f\u00edsicas pueden escribirse circunscritas a un punto del espacio (en ingl\u00e9s \u201clocal\u201d) o pueden escribirse de tal manera que se refieran a cantidades extensas, que involucren una longitud, superficie o volumen (en ingl\u00e9s \u201cglobal\u201d). Voy con ejemplos: una magnitud de punto (local) es por ejemplo la fuerza. 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