Categoría: Matemáticas I

Un geogebrilla:

Cómo calcular la recta tangente a una curva en un punto

Para calcular la ecuación de la recta tangente, utilizaremos la ecuación punto-pendiente:

Por lo que necesitamos saber las coordenadas de un punto P que pase por la recta, que será el punto donde la recta es tangente a la curva y además, la pendiente de esa recta:

Para calcular las coordenadas del punto donde la recta es tangente, si nos dan la coordenada x del punto, sólo tenemos que sustituir la x por la coordenada en la función y obtendremos la coordenada «y», ya que la coordenada y coincide con el valor de la función para ese valor de x.

Por otro lado, la pendiente de la recta tangente a un punto de una función coincide con el valor de la derivada de la función en ese punto:

Por lo que derivando la función de la curva y sustituyendo por el valor de x del punto donde es tangente la curva, obtendremos el valor de la pendiente m.

Cálculo de la recta tangente a una curva en un punto. Ejercicios resueltos.

Unos ejercicios.

Un vídeo sobre este tema concreto:

Y ya puestos, otros pocos:

Muy buenas, ponemos aquí unos cuantos vídeos:

 

Muy buenas
Vamos a darle ya aplicaciones a esto de las derivadas:

Empezamos tema nuevo, con una construcción en Geogebra sobre la visualización del concepto:

Y otro sobre función derivada, capaz de calcularlas y representarlas, de paso:

 

Se intenta clarificar lo que es un concepto bastante abstracto:

La derivada de una función f(x) en un punto x = a es el valor del límite, si existe, del cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.

(https://www.superprof.es/diccionario/matematicas/calculo/derivada-punto.html)

Unos vídeos podrían ayudar, espero:

Os pongo aquí una lista que cubre casi todo lo que vamos a ver:

Añadimos unos ejercicios.

Y un pdf con soluciones.

Pego aquí unos cuantos vídeos con alguna de las situaciones más habituales:

Para este último caso tengo un geogebra:

Otra indeterminación muy popular. Vídeos y resumen:

Recordamos que una indeterminación o forma indeterminada es una expresión algebraica que aparece en el cálculo de límites y cuyo resultado no se puede conocer de antemano. Por ejemplo, la indeterminación $\infty -\infty$

aparece en los siguientes límites:

Las gráficas de estas funciones son

Por tanto, los límites anteriores son

Estos resultados son intuitivos porque, tomando como ejemplo la función $f\left(x\right)=x^2-x$

y dando valores a $x$

, tenemos:

De donde podemos deducir

El monomio $x^2$

crece más rápido que $x$

.

Por tanto, para obtener los resultados sin necesidad de las gráficas, tenemos que fijarnos en el orden de los infinitos. En el límite de un polinomio, la resta de infinitos es el infinito de mayor orden. El infinito que corresponde al monomio de grado mayor es el de mayor orden.

Por tanto,

Por otro lado, cuando $x$

tiende a infinito negativo, los límites coinciden:

En el otro límite tenemos una resta de infinitos, así que nos quedamos con el de mayor grado:

Veamos otro ejemplo:

Podemos multiplicar y dividir por la suma de las raíces para eliminar la resta de raíces:

Por tanto,

Nota: el resultado es el cociente de los coeficientes principales por tener el mismo grado en el numerador y denominador.

Resumiendo, hemos visto tres límites con la indeterminación infinito menos infinito y sus resultados son distintos. Esto justifica que $\infty -\infty$

es una indeterminación.

https://www.matesfacil.com/BAC/limites/indeterminaciones/infinito-menos-infinito/indeterminacion-infinito-menos-infinito-limites-resueltos-ejemplos-procedimientos.html

Un vídeo ilustrativo:

La indeterminación  aparece en cocientes de funciones que normalmente se pueden simplificar, evitando así la indeterminación.

Por ejemplo,

El cociente de ceros aparece en este límite porque 1 es una raíz de ambos polinomios. Como se trata de una raíz común, si factorizamos los polinomios, podemos simplificar el cociente:

Así, se evita la indeterminación:

 

Ver artículo completo en:

https://www.matesfacil.com/BAC/limites/indeterminaciones/cero-dividido-cero/indeterminacion-cero-dividido-cero-ejemplos-limites-resueltos-lhopital.html

Muy buenas

Abordamos los límites en el infinito. Un geogebra:

Y unos vídeos:

Muy buenas

Coloco aquí unos recursos sobre estos aspectos: