Sólo los especialistas pueden leer directamente el libro de Maxwell “Tretease on Electricity and Magnetism” publicado en 1873 en el que se matematiza la idea de campo físico original de Faraday. Y ello por dos razones principales. La primera: que no está escrito en notación vectorial. La segunda: que la fundamentación de las ecuaciones basada en un modelo mecánico del éter, a la luz de los conocimientos actuales, parece un cuento de hadas.
Por eso hoy en día la presentación de las ecuaciones de Maxwell sigue la pauta que Heaviside desarrolló unos pocos años después y que soslayan las dificultades que he señalado en el párrafo anterior.
En efecto, Heaviside (y Gibbs) inventaron la notación vectorial con un afán muy claro: simplificar las más de veinte ecuaciones que Maxwell introdujo en el “Tretease” . Daros cuenta que una ecuación vectorial “arrastra” tres ecuaciones escalares tras de si, una para cada eje del espacio. Dicho de otra manera: tres ecuaciones escalares pueden “comprimirse” en una sola ecuación vectorial. Por cierto, algunos de sus contemporáneos tacharon a Heaviside de “excéntrico” por su empeño en introducir el álgebra vectorial en la Física. En fin, ya veis que vale más el juicio de la Historia que el juicio de las personas.
Para simplificar aún mas las ecuaciones de Maxwell, Heaviside reescribió la ley de Coulomb de manera que la constante que aparece en ella sea ahora k = 1/4πε. De esta manera el factor 4π no aparece en las ecuaciones y si lo hace la constante dieléctrica ε. Heaviside prefirió complicar la ley de Coulomb (cuya validez es muy limitada) para dejar las ecuaciones de Maxwell mas sencillas y “limpias”.
Esta operación de “limpieza” tiene mucho que ver con la errónea fundamentación que Maxwell dió en el Tretease a sus ecuaciones. Heaviside pensaba que las ecuaciones tan “limpias y bellas” no necesitaban ninguna demostración, que merecían un status igual a los principios de Newton del movimiento, que el bonito cuento de hadas que Maxwell contaba en su obra para “deducir” sus ecuaciones era totalmente superfluo.
Desde luego, no todos los físicos pensaban igual que Heaviside y el primero de ellos era nada menos que Einstein. Pero el ataque a la fundamentación de las ecuaciones de Maxwell que hizo Einstein merecen otro post, pues ese análisis crítico es nada menos que el germen de la Teoría de la Relatividad.
Heaviside reescribió las ecuaciones de manera que a la izquierda apareciera lo desconocido, lo que se quiere calcular: (i) la intensidad del campo eléctrico E y (ii) su hermana, la densidad de flujo eléctrico D (iii) la intensidad del campo magnético H y (iv) su hermana la densidad de flujo magnético B. A la derecha de las ecuaciones aparece lo conocido, las fuentes de esos campos: (i’) la carga eléctrica en reposo Q, (ii’) la carga eléctrica en movimiento (o sea la intensidad I) y las variaciones (iii’) del flujo eléctrico y (iv’) del flujo magnético. La relación entre las fuentes (la causa) y los campos (el efecto) está “limpio”, Heaviside se las arregló para que no apareciese ninguna constante. Por cierto, si hacéis las cuentas veréis que salen cuatro ecuaciones con cuatro datos y con cuatro incógnitas, como debe ser.
En las dos primeras ecuaciones aparecen los flujos (campo x superficie) de D y B y en las otras dos últimas las circulaciones (campo x longitud ) de E y H. Esta bonita simetría se rompe con la colocación de las fuentes. Veámoslo:
Ecuación 1): (Gauss) el flujo de D a través de una superficie cerrada es igual a la carga neta encerrada por esa superficie. Por lo tanto: fijada la fuente, el flujo no depende de la forma de la superficie que la rodea.
Ecuación 2): (Gauss) el flujo de B a través de una superficie cerrada siempre vale cero, por lo que el flujo no depende de la forma de la superficie.
Ecuación 3): (Faraday) la circulación de E a lo largo de una curva cerrada es igual a menos la variación en el tiempo del flujo magnético que la atraviesa. Por lo tanto: fijada la variación temporal del flujo, la circulación no depende de la forma de la curva.
Ecuación 4): (Ampere-Maxwell) la circulación de H a lo largo de una curva cerrada es igual a la carga en movimiento que la atraviesa más la variación en el tiempo del flujo eléctrico. Por lo tanto: fijada la variación temporal del flujo y la intensidad que la atraviesa, la circulación no depende de la forma de la curva. Como ya os comenté en clase, esa variación temporal del flujo fue la única contribución personal de Maxwell a “sus ecuaciones”.
Salta a la vista que las ecuaciones serían más simétricas si existiesen monopolos magnéticos, así la segunda ecuación sería muy parecida a la primera. También sería muy deseable que en la cuarta no apareciese la contribución de la intensidad, asi seria muy parecida a la tercera. Aún así la elegancia y simetría de las ecuaciones justifica que Heaviside estuviese enamorado de ellas. (asi lo manifestó es más de una ocasión)
Una última cuestión. Como ya os habréis dado cuenta 4 ecuaciones vectoriales = 12 ecuaciones escalares. Os dije antes que había más de veinte en el Tretease ¿dónde están las que faltan?. Pues otra genialidad de Heaviside. Las que faltan dependen del medio (vacío, aire, agua, etc) por lo que, aunque necesarias para resolver un problema concreto, no tienen el status de Principios sino de relaciones materiales. Para que se entienda mejor, una de las ecuaciones que falta es la versión microscópica de la ley de Ohm V=RI. Fijaos que en esa ecuación aparece R, la resistencia eléctrica, que depende del medio, y aún peor, no es válida cuando la temperatura varía mucho. Otra relación material es la que conecta el campo eléctrico y el desplazamiento D = εE donde la constante ε depende nuevamente del medio. Con buen criterio Heaviside consideraba ese tipo de ecuaciones “inferiores”, indignas de aparecer al lado de las otras cuatro.