Vamos hoy a profundizar un poco más en la definición termodinámica de trabajo. En el post anterior lo definimos como la integral definida de la función P(t) entre dos tiempos conocidos y fijos. Ha llegado el momento de darle significado a esa definición.
 figura 1
W = 40000 J |
La gráfica P(t) frente a t puede ser muy, muy sencilla justo en el caso trivial en el que P es constante. Sería el caso de mantener un coche a un número fijo de revoluciones y sin cambiar de marcha durante un tiempo no muy grande, inferior a diez segundos . En este caso el trabajo como puedes ver en la figura 1 coincide con el área del rectángulo rayado y obviamente vale altura x base, o sea Pxt. Poco misterio hay en esto y como ya te dije en el post anterior puedes despejar P si te apetece y dejarlo como trabajo/tiempo |
figura 2 W = 35000 W |
Pero la cosa se puede complicar un poquito. Por ejemplo, y siempre sin cambiar de marcha, podemos pisar el acelerador suavemente durante no muchos segundos (para que el motor no coja muchas revoluciones) y enseguida en el tacómetro del coche vemos que la aguja empieza a subir. El tacómetro te vale de visualizador de la potencia instantánea del motor, pues cuando el motor gira más rápido más potencia suministra, insisto, mientras no cambies de marcha y el motor no se embale. Así que puedes hacer la gráfica de las revoluciones frente al tiempo como si fuese la potencia y te quedaría algo parecido a la figura 2. |
Bien, pero ¿cuánto vale ahora el trabajo? El área rayada ahora es un trapecio y aunque te sabias la fórmula del área de un trapecio, seguramente no te acuerdas. No pasa nada, lo que hacemos es rectificar a ojo la gráfica de manera que se compensen las áreas por encima y por debajo de la línea azul que añadí, la potencia media, y ya se hace igual que antes: trabajo = potencia media x tiempo.
Llegados a este punto quizá te inquiete eso de «a ojo». No te preocupes, que esto no son matemáticas, es física. Nosotros solo tenemos que preocuparnos de las cifras significativas de las medidas y si el error que cometo «a ojo» está por detrás del número de cifras significativas que puedo medir (en este caso no pasarían de dos), ningún físico del mundo mundial pondrá ninguna objeción.
figura 3 W<35000 W
figura 4 W = 32000 W |
Pero claro, la cosa se puede complicar más y más. Resulta que si acelero mas bien bruscamente (siempre sin cambiar de marcha) la gráfica (a mano alzada) resultante ahora es la de la figura 3. ¿cuánto vale el trabajo? ¿Te vale una respuesta aproximada? pues entonces vale menos que antes y ya está. ¿Quieres ser más preciso? Rellena el área rectangular de lados Pmax y t max con puntos equidistantes como en la figura 4, cuenta los que quedan dentro del área y los que quedan fuera, divide y multiplica finalmente por Pmaxxt y ya está. ¿Quieres aun más precisión? Aumenta el número de puntos y repite el proceso hasta que estés contento con el número de cifras significativas que consigas. Eso sí, no hagas el burro y des más cifras que los datos de partida que en este caso las marca el tiempo medido, como mucho dos. |
El método que he descrito más arriba es totalmente correcto (no me lo he inventado, se llama método de Montecarlo, a ver si adivinas por qué) y muchas aplicaciones informáticas que calculan integrales lo implementan porque es rápido y fácil de programar. No importa lo complicada que sea la gráfica P(t), el método de Montecarlo te valdrá siempre dado que conecta área y probabilidad sin falta de muchos conocimientos matemáticos.
Queda por perfilar un detalle. Normalmente las máquinas realizan trabajo sobre el entorno, pero entonces el entorno recibe el trabajo de las máquinas. Puff hay que llevar una contabilidad caramba, que no es lo mismo recibir que entregar. El criterio de signos empleado para llevar las cuentas es el denominado «criterio egoísta», vamos como los Bancos. Lo que sale del sistema negativo y lo que entra en el sistema positivo. Así que la definición de trabajo termodinámico es como sigue:
trabajo = – integral definida (o sea el área) de la gráfica de P(t) (entre dos instantes de tiempo conocidos.
La gráfica P(t) puede ser analítica (una función matemática), o a mano alzada, o a ojo, o experimental, o inventada. Da igual.
Nos quedan flecos sueltos que ya no tienen nada que ver con el concepto de trabajo. Uno es de índole física: ¿las revoluciones medidas con el tacómetro siempre son proporcionales a la potencia que entrega el motor? La respuesta es no, pero tendrás que investigar un poco. Otro fleco es de índole matemática: si tengo una función P(t) analítica (o sea un polinomio, un seno, un logaritmo o vete tu a saber) ¿puedo obtener el área con otra función analítica?. Y aquí no te vale investigar por tu cuenta que el tema es sobrecogedor. La respuesta es sí, pero con cautela. Otro día me disfrazo de profesor de Matemáticas y te cuento los entresijos de la integral de Riemann y en qué casos P(t) es integrable y en cuales no.