Las leyes físicas pueden escribirse circunscritas a un punto del espacio (en inglés “local”) o pueden escribirse de tal manera que se refieran a cantidades extensas, que involucren una longitud, superficie o volumen (en inglés “global”).
Voy con ejemplos: una magnitud de punto (local) es por ejemplo la fuerza. En un punto del espacio puede estar una partícula y sobre ella actuar una fuerza, que luego en conexión con el 2º Principio de Newton permite calcular la aceleración de esa particula justo en ese mismo punto donde se encuentra. Obviamente, el movimiento de los cuerpos se realiza a lo largo de la trayectoria que describen que, sin duda alguna, es una magnitud extensa. El paso del la magnitud puntual, la aceleración, a la magnitud extensa, la trayectoria, debe realizarse mediante la operación matemática de integración. Como recordaréis de los problemas de 1º de Bachillerato, el proceso se puede invertir y dada la trayectoria matematizada por el vector de posición puede derivarse éste dos veces para obtener la aceleración y la fuerza.
Quiero destacar un punto importante que se deduce del párrafo anterior: la segunda ley de Newton está escrita de manera puntual. Desde un punto de vista matemático es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden. Aclarando mas las cosas: lo de” ecuación” significa que puede ser resuelta para obtener una función conocida, lo de “diferencial de segundo orden” significa que hay que integrar dos veces para llegar a la trayectoria y lo de “ordinaria” es que solo hay una variable que es el tiempo. Ejemplo típico es el oscilador armónico cuyo solución vimos este curso. Lo repasamos: (1) la ecuación diferencial (2º ley) queda: -kx = md2x/dt2 (2) la solución es a(t) = – Aω2 sen(ωt+φ0) y (3) la doble integración queda x(t) = A cos(ωt+φ0) donde ω2 = k/m
Una magnitud extensa (global) es por ejemplo el trabajo. No puede haber trabajo en un punto, el concepto en sí es absurdo. Cuando una fuerza se traslada a lo largo de una longitud, entonces es cuando se realiza trabajo. Así que la Termodinámica trata con magnitudes extensas y por eso sus Principios son de una naturaleza física (¡ y matemática !) muy distinta a la segunda ley de Newton. Dicho de otra manera: el primer principio de la Termodinámica NO es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden.
Inmediatamente se suscita la cuestión de que si es posible escribir la segunda ley de Newton de manera global, extensa, y el Primer principio de la Termodinámica de manera local, puntual. Pues voy a mantener el misterio porque lo que me interesa ahora es destacar que las Ecuaciones de Maxwell SI que se pueden escribir de manera local, como ecuaciones diferenciales, o de manera global, como ecuaciones integrales.
En el post anterior a éste, las escribí de manera global porque considero que bajo esa forma son más fáciles de asimilar la primera vez que te topas con ellas. Para ello hice uso de magnitudes globales: el flujo de D y B a través de una superficie y la circulación de E y H a lo largo de una longitud. Pero, insisto, es perfectamente posible escribirlas solamente con las magnitudes puntuales, los propios campos.
Desgraciadamente ya veis que las cosas se complican. Resulta que lo que parecían cuatro ecuaciones son en realidad ocho y pasar de unas a otras requiere cierta pericia matemática y la omnipresencia de dos operadores diferenciales: la divergencia que sustituye a los flujos y el rotacional que sustituye a las circulaciones. Además resulta que cuando se escriben en forma local hay tres variables, las tres coordenadas espaciales, por lo que ya no son ecuaciones diferenciales ordinarias como la 2º ley, se trata ahora de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Fatalidad, los métodos que aprendes para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias no valen para resolver las ecuaciones en derivadas parciales. ¡Mientras haya físicos las matemáticas no se agotarán nunca!