Aunque por motivos didácticos la fuerza magnética se estudia separada de la eléctrica, en realidad siempre van juntas y se denomina la fuerza de Lorentz a su suma:
Felectromagnética = q E + q (v x B)
Podéis reconocer en esa expresión que la fuerza magnética vale:
Fmagnética = q (v x B)
La cuestión matemática pertinente ahora es el cálculo del producto vectorial que exige el desarrollo del determinante:
En principio sabéis hacerlo por la regla de Sarrus o por el desarrollo de los elementos de la primera fila, pero en este post pretendo ahondar un poco más sobre el significado físico del producto vectorial y relacionarlo con dos teorías punteras de la Física Moderna: la Mecánica Cuántica y la Teoría de la Relatividad General.
Quiero destacar ante todo que ese “determinante” de más arriba ni siquiera es un auténtico determinante, pues lo que hay dentro de él no es una matriz tan siquiera (fijaos que su primera fila aparecen los vectores unitarios enteritos y las siguientes filas son otra cosa, son números, las componentes de la velocidad y el campo). En realidad la génesis histórica del producto vectorial no tiene nada que ver con los determinantes y la definición anterior no pasa de ser una regla nemotécnica para su cálculo.
La manera moderna correcta de desarrollar el producto vectorial es a través de la siguiente multiplicación matricial:
¡Ya no hace falta incluir artificialmente los vectores unitarios! Si realizáis la multiplicación os queda una matriz columna cuyos elementos son las componentes del producto vectorial.
Observad que la matriz que se usa tiene una simetría especial: es antisimétrica, o sea que su traspuesta coincide con la original cambiada de signo lo que de paso exige que la diagonal principal sean todos ceros. El caso es que esas matrices antisimétricas pertenecen al álgebra de Lie del grupo SO(3) formado por las rotaciones en el espacio ordinario. Así que en definitiva el producto vectorial se comporta igual que una estructura, las álgebras de Lie, importantísimas en las modernas teorías cuánticas.
Por otra parte, el producto vectorial lleva asociada una base de vectores unitarios dextrógiros y esto NO SE PUEDE cambiar. Lo de dextrógiro significa que, una vez dibujados tres ejes cualesquiera en el espacio puedes elegir libremente el nombre de uno de ellos, por ejemplo el eje X y automáticamente la regla de la mano izquierda que vimos en clase fija el nombre de los otros dos, el Y y el Z. (ya sé que dextrogiro es girar a derechas, pero la regla es la de la mano izquierda, así que cuidado con los nombres).
La necesidad absoluta de utilizar una base dextrógira conduce a una dificultad física muy seria. Es superevidente que la fuerza de Lorentz NO puede depender de la arbitraria elección de la base, por lo que si se usase una base unitaria levógira los resultados tendrían que ser los mismos.
La cuestión es muy delicada y su análisis involucra conocer la simetría que cambia una base dextrógira en otra levógira. Si hacéis los dibujos oportunos veréis que se trata de una operación de simetría de inversión de los ejes de coordenadas. No es el momento de entrar en más detalles, simplemente os avanzo que el vector B no es un vector ordinario, los cuales cambian de signo ante la inversión de los ejes, el vector B no cambia de signo al invertir los ejes tal y como exige su presencia en la fuerza de Lorentz, por lo que los físicos lo llaman un pseudovector.
Otro pseudovector que aparece en Física y que ya conocéis es el momento angular L = r x m v. También la presencia del inocente producto vectorial hace que L no cambie de signo al invertir el sistema de referencia. La comprobación es inmediata sin más que destacar que tanto r como v (vectores ordinarios) si cambian de signo ante la inversión y entonces (-)r x (-)v = (+)L y evidentemente la masa al ser siempre positiva no altera para nada el razonamiento.
No os tenéis que preocupar mucho en este momento en distinguir los vectores de los pseudovectores. Pero en cursos mas avanzados se comprueba que las relaciones entre pseudovectores requieren la presencia de otros objetos ciertamente complicados, los tensores. Así que en principio tenemos dos tipos de leyes:
vector = escalar por vector
pseudovector = tensor por pseudovector
La segunda ley de Newton es un ejemplo del primer tipo de relación, pero en la dinámica de rotación aparecen leyes del segundo tipo. Un estudio sistemático de este tipo de relaciones entre tensores es la base de la Teoría General de la Relatividad de Einstein (no confundirla con la Teoría Especial de la Relatividad).