Empezamos tema nuevo, con una construcción en Geogebra sobre la visualización del concepto:
Y otro sobre función derivada, capaz de calcularlas y representarlas, de paso:
Se intenta clarificar lo que es un concepto bastante abstracto:
La derivada de una función f(x) en un punto x = a es el valor del límite, si existe, del cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.
Otra indeterminación muy popular. Vídeos y resumen:
Recordamos que una indeterminación o forma indeterminada es una expresión algebraica que aparece en el cálculo de límites y cuyo resultado no se puede conocer de antemano. Por ejemplo, la indeterminación ∞−∞
aparece en los siguientes límites:
Las gráficas de estas funciones son
Por tanto, los límites anteriores son
Estos resultados son intuitivos porque, tomando como ejemplo la función f(x)=x2−x
y dando valores a x
, tenemos:
De donde podemos deducir
El monomio x2
crece más rápido que x
.
Por tanto, para obtener los resultados sin necesidad de las gráficas, tenemos que fijarnos en el orden de los infinitos. En el límite de un polinomio, la resta de infinitos es el infinito de mayor orden. El infinito que corresponde al monomio de grado mayor es el de mayor orden.
Por tanto,
Por otro lado, cuando x
tiende a infinito negativo, los límites coinciden:
En el otro límite tenemos una resta de infinitos, así que nos quedamos con el de mayor grado:
Veamos otro ejemplo:
Podemos multiplicar y dividir por la suma de las raíces para eliminar la resta de raíces:
Por tanto,
Nota: el resultado es el cociente de los coeficientes principales por tener el mismo grado en el numerador y denominador.
Resumiendo, hemos visto tres límites con la indeterminación infinito menos infinito y sus resultados son distintos. Esto justifica que ∞−∞
La indeterminación 0/0 aparece en cocientes de funciones que normalmente se pueden simplificar, evitando así la indeterminación.
Por ejemplo,
El cociente de ceros aparece en este límite porque 1 es una raíz de ambos polinomios. Como se trata de una raíz común, si factorizamos los polinomios, podemos simplificar el cociente:
En este apartado nos podemos encontrar con dos posibilidades, al menos: que tengan una incógnita o dos. El número de inecuaciones puede ser ilimitado. En todos los casos lo resolveremos de forma gráfica al final, bien sea con la recta real o en el plano.
Un resumen en pdf con actividades (este apartado comienza en la página 6):
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