Me temo que para poder seguir hablando del spin ha llegado el momento de utilizar algunos conceptos matemáticos. En concreto son el de número complejo y el de vector, que disteis en 1º de Bachillerato y el de matriz de una aplicación lineal que habéis dado este año.
Pues allá vamos. La primera idea que os quiero presentar es la de matriz de giro. ¿Y qué es eso? pues es una matriz que al multiplicarla por un vector lo gira un ángulo predeterminado. Obviamente si ese ángulo es cero, el vector queda inalterado y la matriz que representa un giro de cero grados es la matriz identidad. Lo mismo sucedería si el giro fuese de 360º, el vector queda inalterado.
Pero veamos otros ejemplos. Si el vector i = (1,0) lo giramos 90º en el sentido contrario al avance de las manecillas de un reloj, sale el vector j = (0,1) (dibujarlo y aseguraros de ello). Pues bien se trata ahora de buscar la matriz que multiplicada por el vector (1,0) sale el vector (0,1). O sea se trata de encontrar la matriz 2 x 2 que cumpla
Se puede hacer sin mas por tanteo y es fácil comprobar que por ejemplo las matrices
cumplen la ecuación de mas arriba.
Desde luego que hay muchísimas mas, pero esas dos me interesan para ilustrar el siguiente punto: la primera matriz, la A, admite un giro inverso para que el vector (0,1) gire hasta coincidir con el (1,0). La segunda matriz, la B, no. Comprobémoslo, primero con la matriz A. Su giro inverso es el siguiente y mueve el vector j como os he dicho
y si multiplico el giro horario por el giro antihorario sale la identidad como debe ser:
La matriz B de mas arriba podéis ver fácilmente que no admite inversa, pues su determinante vale 0. No puede representar un giro, será otra cosa, pero un giro desde luego que no. Así que de todas las matrices 2 x 2 solo algunas representan giros, pero ¿cuáles?
Pues con el ejemplo que os he desarrollado y una cosita mas es fácil caracterizarlas. Para empezar, las matrices de giro (1) su determinante vale 1, (2) siempre admiten matriz inversa (su giro opuesto que las lleva a la identidad) y (3) esa matriz inversa coincide con la traspuesta (cambiar filas por columnas).
Ya está. Ese conjunto de matrices que representan giros en el plano se denomina SO(2) y una matriz genérica de ese grupo es
Comprobar que si sustituís el ángulo alfa por 90 ó -90 obtenéis las matrices de giro que yo he usado mas arriba. Además con la matriz genérica es muy fácil demostrar las caracterizaciones (1),(2) y (3) de todas las matrices pertenecientes al grupo SO(2). Os destaco también que la matriz genérica depende de un solo parámetro: el ángulo de giro alfa.
Ahora os digo la segunda idea que os quiero transmitir en este post: las matrices de giro que pertenecen a SO(2) respetan las simetrías resultantes de los giros realizados alrededor de un círculo y además no cambian la longitud de los vectores girados. Un simple ejemplo os convencerá de esto último. Si elegimos el vector (2,1) de módulo √5 y lo giramos 90 grados:
vemos que el vector resultante, (-1,2) sigue teniendo módulo √5.
Tan solo me falta la extensión al espacio tridimensional. Las matrices de giro tridimensionales pertenecen al grupo SO(3) pero a diferencia del SO(2) que solo depende de un parámetro, el grupo tridimensional depende de tres. En efecto para hacer girar un balón de fútbol o nuestro propio planeta Tierra, hay que especificar un eje (dos parámetros) y el ángulo de giro (el tercero).
La matriz genérica de SO(3) tiene un aspecto formidable que ahí os dejo mas que nada para que veáis que existe:
(nx,ny,nz) son las componentes del vector unitario que define el eje de rotación (de los tres números solo dos son independientes, pues el tercero se despeja de la condición de que su módulo valga 1) y θ es el ángulo de rotación.
Pero la cosa no acaba aquí. ¿Y que pasa si el propio espacio gira en el hiperespacio? Asunto resuelto, las matrices que hacen tal cosa pertenecerán a SO(4) y os anticipo que dependerán de 6 parámetros. ¿Queréis más? pues si el hiperespacio gira en el hiperhiperespacio las matrices estarán en SO(5) y ahora el número de parámetros serán 10. La regla es que SO(n) depende de n(n-1)/2 parámetros ajustables. Por cierto os dejo un reto: los seis parámetros de SO(4) ¿a que elementos geométricos se refieren?
Como habeis visto, las matrices genéricas de SO(3), SO(4) etc son pequeños monstruos matemáticos llenos de senos, cosenos, vectores unitarios y demás demonios matemáticos. Afortunadamente, ya en el siglo XIX, Sophus Lie descubrió una manera muy elegante de trabajar con un grupo de rotación a partir de otra estructura mucho mas simple: las denominadas álgebras de Lie cuyas bases son también matrices pero mucho mas manejables y sencillas que la matriz Rn(θ) de mas arriba.
¿Y que tiene que ver esto con el spin? Pues lo siguiente: las matrices de SO(3) respetan todas las simetrías cuando se gira una esfera en el espacio, coincide entonces con la simetría que Noether había advertido para el momento angular: al girar el propio espacio permanece idéntico a si mismo. Ese será nuestro punto de arranque para entender el spin pero lo dejo para después de la graduación.