Tengo que acabar estos post dedicados al spin antes de que termine el curso, asi que allá voy.
En breves pinceladas os resumo el camino lógico que, a mi juicio, desembocó en una mejor comprensión del spin en la física cuántica.
(i) el teorema de Noether establece una profunda relación entre simetría matemática y propiedad física conservada (propiedad que no cambia cuando todo lo demás cambia).
(ii) el momento angular es la magnitud que se conserva debido a las propiedades de simetría del espacio euclideo, en concreto la isotropía (al girar un cierto ángulo las propiedades del espacio no cambian)
(iii) las matrices del grupo SO(3) reproducen las propiedades de simetria correspondientes a la isotropía del espacio.
(iv) nos queda encontrar otro grupo matricial cuyas propiedades de simetría reproduzcan todos los experimentos en los que aparezca el spin de las partículas.
Ya os adelanto que tal grupo es el SU(2) y paso de inmediato a explicaros como se construye. La idea básica es generalizar el grupo SO(2) ( que os recuerdo que depende de un número real, el ángulo de giro) para que incluya números complejos, si esos número tales como 4 + 3i ó -2 – 2i, donde “i” es la raiz cuadrada de -1.
Una cosa hay que tener presente: exigimos a las matrices de SU(2) que respeten las propiedades de su grupo hermano, el SO(2) que ya os he mencionado en el post anterior a éste y que seguidamente trascribo:
1) su determinante vale 1,
(2) siempre admiten matriz inversa (el giro opuesto que las lleva a la identidad)
y (3) esa matriz inversa coincide con la traspuesta (cambiar filas por columnas).
Pues con estos condicionantes las matrices del grupo SU(2) pasan a depender de tres parámetros y la propiedad (3) hay que modificarla ligerante por:
y(3′) la matriz inversa coincide con la traspuesta-conjugada (cambiar filas por columnas y “i”, la raiz de -1, por “-i”)
Las matrices de ese grupo tienen el siguiente aspecto:
Fijaos que la propia estructra interna de las matrices garantiza que la inversa coincida con la traspuesta-conjugada.(la notación habitual del conjugado del número α es ponerle una raya encima, asi el conjugado de 3-2i es 3+2i)
Tengo que explicar mas a fondo por que el grupo SU(2) depende de tres parámetros pues tendrá una importancia capital más adelante. Si os fijaís los números complejos α y β pueden escribirse así: a + bi, c + di con lo que en principio a,b,c,d son arbitrarios. Pero la condicion de que el determinante valga uno nos proporciona una ecuación que permite despejar uno de ellos en función de los otros tres. Así por ejemplo eligiendo a = 0, b= 0, c = 0 obligatoriamente d tiene que valer 1 y la matriz que responde a esa elección es:
Sin duda representa una “rotación” pues (tal y como hicimos en SO(2)) al multiplicarla por su traspuesta-conjugada se deshace el “giro” y obtenemos:
Ya tenemos construido “el mundo donde habita el spin”, un espacio matricial complejo cuyas rotaciones son las matrices de SU(2). Ahora os presento a sus “habitantes”. Son las denominadas matrices de Pauli y con ellas se pueden reproducir los resultados de todos los experimentos en los que intervenga el spin. Se suelen escribir así:
Las matrices del spin son esas mismas pero multiplicadas por la constante h/2π.
El experimento básico que pone de manifiesto las propiedades del spin es el experimento de Stern-Gerlach. Consiste un un aparato en cuyo interior hay un campo magnético variable que se puede orientar en el espacio según el eje que deseemos. Al entrar un chorro de átomos en el aparato, este se divide siempre en dos y solo dos haces. Es posible relacionar la separación entre esos haces con la intensidad B del campo magnético en su interior.
No hace falta en este momento entrar en mas detalles de cómo se realiza el experimento. Interesa tan solo relacionar el resultado del experimento con la teoría. Brevemente os diré que de las tres matrices de Pauli solo la tercera es una matriz diagonal. Hay un teorema de la física cuántica que dice que cuando tenemos una matriz diagonal que represente una cierta magnitud, los valores de la diagonal son los posibles valores que experimentalmente se pueden obtener al medir dicha magnitud. Así que los posibles resultados del experimento de Stern-Guerlach son ó h/2π ó -h/2π, según sea el haz que se tome. (claro está el factor h/2π premultiplica a las matrices de Pauli para dar las matrices del spin). Es otra manera de decir lo que ya sabéis: el número de spin vale ó 1/2 ó -1/2 en ¡unidades de h/π!
Y ahora empiezan los auténticos y desconcertantes problemas. Las matrices de SO(2) indudablemente representan giros en el plano, pero ¿y las matrices de SU(2)? ¿siguen siendo giros? y si es asi ¿giros de qué?
Lo primero que se les ocurrió a los físicos es que no es posible establecer una correspondencia entre un grupo que depende de un parámatero, el SO(2), con otro que depende de tres, el SU(2), asi que buscaron y encontraron una relación con el SO(3) que efectivamente depende de tres parámetros. Así que dado que SO(3) representa los giros de una esfera en el espacio ordinario, SU(2) representa los “giros” de una esfera imaginaria en un espacio imaginario. Desconcertante. Y mucho más desconcertante aún es saber que los “giros” en SU(2) son mas “perfectos” que en SO(3) pues en el primero la operación “giro” es contínua mientras que en el segundo la operación giro presenta una discontinuidad.
Conectemos todo esto con la realidad. El aparato de Stern-Guerlach sin duda habita en el espacio ordinario y si lo rotamos, las matrices de SO(3) dan cuenta de dicha rotación. El resultado de sus medidas, el spin, habita en un espacio complejo y cuando se rota el aparato Stern-Guerlach en el espacio ordinario, el spin “rota” en su espacio pero lo hace con las matrices de SU(2). La maravillosa conexión SU(2) → SO(3) da cuenta y razón de todos los posibles resultados del experimento Stern-Guerlach.
Creo que es el momento de recordar las palabras de Alfonso X el Sabio cuando se puso a estudiar la astronomía de Ptolomeo “Si Dios me hubiese preguntado le habria sugerido un mundo mucho mas sencillo”