Pues llegó el momento de las cosas raras. La “analogía rotacional” entre SU(2) y SO(3) tan fecunda para los físicos y que os expuse en el post anterior no se sostiene demasiado. Vamos a verlo con un poco de algebra.
La matriz que representa una rotación de 180º alrededor del eje “y” en SU(2) es la siguiente:
Si ahora queremos girar la matriz de Pauli, σx, 180º alrededor del eje y ( o sea invertirla espacialmente) tendremos que multiplicar
¡Horror! en lugar de – σx que sería lo esperado sale σz. No desesperemos. Si ahora volvemos a girar 180º alrededor del eje y recuperaremos seguramente σx pues hemos completado un giro completo ¿verdad?
Nada de nada. Hagamóslo
¡Sale – σx ! Al completar una vuelta de 360º en el espacio ordinario obtenemos que la matriz del spin se ha dado la vuelta. Extrañísimo, en el espacio ordinario cualquier objeto que gires 360º lo dejas intacto.
Podeis comprobar que sería necesario girar 720º para que la matriz σx quede inalterada. Conclusión: los “giros” en SU(2) son “mas lentos” que en SO(3). Si a un objeto en el espacio ordinario le das la vuelta (giro de 180º) en el espacio del spin solo giró la mitad (90º).
Los objetos que giran tan raro tienen un número de spin fraccionario mientras que los objetos que giran “normal” tienen un número de spin entero. La consecuencia directa para el Modelo Estándar es que los objetos de spin fraccionario son “ladrillos”, no pueden ocupar a la vez el mismo lugar en el espacio ordinario, ejemplo el electrón.
En las clases de Química os dijeron que el spin del electrón vale 1/2. Ahora podeis ver la razón de ese valor. Si multiplicais 720º, la identidad en SU(2), por 1/2 obtenéis la identidad en el espacio ordinario, 360º. La generalización es inmediata. Una partícula de spin 1/3 tiene que girar 1080º para su identidad.
Los objetos que tienen spin entero si pueden ocupar el mismo lugar espacial y sirven para transportar las interacciones entre los “ladrillos”. Reciben el nombre de “cementos”. El fotón con spin 0 es un buen ejemplo pues sabéis que es el que transporta la interacción electromagnética.
O sea dentro del Modelo Estándar dos electrones se repelen porque entre sí estan intercambiando fotones. Una imagen que se me ocurre es dos tenistas que se van alejando mientras a raquetazos se pasan la bola uno a otro.
En fin, espero que si habéis tenido la paciencia de leer estos posts con detenimiento, por lo menos que os quede la idea de que el tratamiento teórico del spin está basado en las propiedades de simetría de un grupo de matrices cuyas entradas son números complejos y que represetan “rotaciones” en espacios matemáticos muy abstractos.
Si quereís seguir profundizando en el estudio de la Naturaleza las matemáticas os resultarán imprescindibles. Ya se que muchos pensais que son esféricamante intragables pero ya Galielo dejó escrito que “Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo”.